Les sapins du « Ladies’ Diary », l’énigme maths du « Monde » n° 33

En 1704 parut à Londres le premier numéro du journal The Ladies’ Diary, un périodique destiné, selon son propre slogan, « à l’usage et au divertissement du beau sexe ». On y trouve un almanach, des recettes de cuisine, des conseils de santé et, dans les dernières pages, une section de jeux avec des énigmes, des rébus ou des charades. Les lectrices sont invitées à participer en envoyant leurs solutions et en proposant à leur tour des énigmes. Cette section va rapidement prendre un tournant auquel les éditeurs du journal ne s’attendaient pas.
En quelques numéros, les simples petites énigmes se transforment en véritables problèmes de maths. On s’y pose des équations complexes, des questions de trigonométrie, de calcul différentiel et bon nombre de problèmes de physique mathématique. Sous l’impulsion de ses lectrices, The Ladies’ Diary se transforme peu à peu en l’un des journaux scientifiques les plus populaires du pays ! Cette section est d’un tel intérêt que bon nombre d’hommes, y compris des scientifiques professionnels, se mettent à lire le journal qui, en 1841, est officiellement renommé The Lady’s and Gentleman’s Diary.
Voici un exemple d’énigme qui fut posée dans l’édition de 1711 :
Dans un jardin plat, il y a deux grands sapins dont les cimes sont ornées de boules dorées, l’un mesure 100 pieds de haut, l’autre 80, et ils sont distants de 120 pieds à la base. Or, le propriétaire veut placer une fontaine en ligne droite entre les arbres, à égale distance du sommet de chacun. Comment cela doit-il être fait ?
La réponse fut apportée, dans le numéro suivant, par Mrs Anna Wright. Saurez-vous, comme elle, déterminer la position de la fontaine ?
Dans la prolongation de cette énigme, voici une variante de mon cru :
Jetant un œil par-dessus la clôture, le voisin du précédent se met en tête de faire la même chose dans son jardin. Son terrain est également plat et s’y trouvent aussi deux sapins, l’un de 100 pieds de haut et l’autre de 60. Comme son voisin, il souhaite que ses deux arbres et sa fontaine soient alignés et que cette dernière soit placée à égale distance des deux cimes. Malheureusement, en faisant ses calculs, il comprend que son projet est impossible à réaliser.
Sauriez-vous expliquer pourquoi et pouvez-vous en déduire la distance qui sépare ses deux sapins ?
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Indice
snipas sel erttaba’d noitseuq sap tse’n li, udnetne neib te éilla ertov tse erogahtyP
Solution
Notons x la distance entre la fontaine et le plus grand sapin. Par le théorème de Pythagore, le carré de la distance entre la fontaine et sa cime vaut 100² + x². De la même façon, le carré de la distance à la cime du plus petit sapin vaut 80² + (120 − x) ². Il s’agit donc de résoudre l’équation égalant ces deux valeurs. En développant et en réduisant, on obtient 240x = 120² + 80² − 100² = 10 800. Soit x = 45.Pour le voisin, l’impossibilité vient du fait que la fontaine devrait se trouver à l’emplacement même du plus haut sapin. Ainsi, la distance entre le pied du haut sapin et la cime du petit est égale à la hauteur du grand sapin, soit 100 pieds. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle formé par le pied du grand sapin, la cime du petit et le pied du petit, on en déduit que la distance entre les deux sapins est égale à 80 pieds (100² = 60² + 80²).
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